Modelos compartimentais do tipo SIRC
Autor: Ana Carla Ferreira Nicola Gomes (Currículo Lattes)
Resumo
Doenças causadas por microrganismos surgem e ressurgem no ambiente, afetando populações humanas, animais e vegetais. Desta forma, os modelos matemáticos precisam estar em constante adaptação para que consigam modelar de maneira mais abrangente a dispersão dessas doenças e contribuir para a tomada de decisão em gestão pública. Neste trabalho, estudamos variações do modelo compartimental do tipo SIRC com populações espacialmente distribuídas, onde cada uma das subpopulações da rede bi-dimensional se divide em compartimentos criados conforme a característica do grupo populacional, sendo esses suscetíveis (S), infectados (I), recuperados (R) e imunidade cruzada (C). O modelo ainda admite que existe interações entre as diferentes populações espacialmente distribuídas, mas que não exista migração. Por fim, o modelo contempla "memórias" distintas em cada um dos compartimentos existentes nas populações, a qual é modelada pelas derivadas de ordem fracionária de Caputo. Do ponto de vista teórico, mostramos resultados de existência, unicidade e dependência contínuas dos dados iniciais, dos parâmetros do modelo e das ordens das derivadas para a solução do sistema de equações diferenciais com diferentes ordens fracionárias, que modela o problema em sua forma geral. Também estabelecemos a existência de pontos estacionários em termos da topologia de interação entre as populações e os parâmetros do modelo. Demonstramos a estabilidade local (global) para alguns casos particulares para a escolha das ordens das derivadas. Para o caso particular em que há uma única população, estudamos o modelo SIRC com múltiplas ordens aplicado a Influenza. Para esse caso particular, de maneira mais detalhada analisamos a estabilidade local. Ainda, a partir de algumas simulações mostramos que a existência de distintas ordens para a dinâmica de cada compartimento descreve de maneira mais fidedigna dados reais de Influenza. Outra variante do modelo proposto consiste no estudo do modelo SIRD (o compartimento (C), foi transformado no compartimento (D) para representar o distanciamento social) com a população dividida em faixas etárias que interagem, o qual foi pensado para descrever o comportamento dos efeitos do distanciamento social e reabertura de escolas durante a pandemia de Covid-19. Mostramos os resultados de boa colocação (os quais são ligeiramente diferentes do caso do modelo SIRC), resultados de existência de pontos de equilíbrio e respectiva estabilidade, conjuntamente com alguns resultados teóricos e cenários numéricos que simulam o efeito na dinâmica da infecção com o retorno escalonado das crianças à escola.